Program Linear

Apa sih program linear itu?

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, diubah kedalam model matematika. 

Untuk mengetahui lebih lanjut, perhatikan contoh soal berikut!

Suatu toko kue mempunyai persediaan 2000 gram gula pasir dan 8000 gram tepung. Akan dibuat dua macam kue, yaitu kue bolu dan kue pukis. Untuk membuat kue bolu dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue pukis dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika kue bolu dijual dengan harga Rp 2000,-/buah dan kue pukis dijual dengan harga Rp 3000,-/buah. Dan jika banyaknya kue bolu dimisalkan x dan banyaknya kue pukis dimisalkan y. Maka tentukan :

a.       Fungsi kendala

b.       Fungsi tujuan

c.       Daerah himpunan penyelesaian

d.       Pendapatan maksimum yang diperoleh

Berdasarkan data yang diberikan, dapat kita simpulkan sebagai berikut.

Sederhanakan persamaannya.

                2x + y ≤ 400

                2x + 5y ≤ 800

Kenapa memakai tanda “≤” ? Karena persediaan gula dan tepung terbatas, sehingga kue yang dapat dibuatpun harus menggunakan bahan yang kurang dari atau sama dengan persediaan yang dimiliki.

 Setelah itu, diubah menjadi notasi matematika yang disebut fungsi kendala seperti berikut:

         

 

Sedangkan fungsi tujuan ialah fungsi yang dibuat untuk mencari data pendapatan.

f(x , y) = 2000x + 3000y

Setelah itu, cari daerah himpunan penyelesaian(DHP) dengan fungsi kendala yang telah kita dapatkan untuk mendapat titik-titik DHP.

1)      2x + y = 400

Misalkan x = 0, maka y = 400

Misalkan y = 0, maka x = 200

Sehingga didapatkan titik (0,400) dan (200,0)

2)      2x + 5y = 800

Misalkan x = 0, maka y = 160

Misalkan y = 0, maka x = 400

Sehingga didapatkan titik (0,160) dan (400,0)

Keempat titik tersebut menghasilkan grafik seperti ini, dan karena x dan y ≥ 0, maka DHP yang dihasilkan adalah daerah yang diarsir atau daerah yang dilewati oleh kedua fungsi.

 

Maka titik yang digunakan hanyalah titik (0,0), (0,160), (200,0) dan titik hijau. Untuk mengetahui titik hijau dilakukan eli-susi pada kedua fungsi seperti berikut.

 Sehingga didapatkan titik (150,100)

Setelah itu, masukkan titik-titik DHP yang telah didapatkan ke dalam fungsi tujuan.

f(x , y) = 2000x + 3000y

1)      f(0 , 0) = 2000(0) + 3000(0) = 0

2)      f(200 , 0) = 2000(200) + 3000(0) = 400.000

3)      f(150 , 100) = 2000(150) + 3000(100) = 600.000

4)   f(0 , 160) = 2000(0) + 3000(160) = 480.000

Jadi, pendapatan maksimum yang didapatkan adalah Rp 600.000,- apabila toko kue tersebut menjual 150 kue bolu dan 100 kue pukis.

Nah, gampang kan? 

Untuk memantapkan kemampuan kalian, yuk kita latihan soal disini. Ada pembahasannya juga loh!